3.306 \(\int \frac{(d \sec (e+f x))^n}{(1+\sec (e+f x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=73 \[ -\frac{\tan (e+f x) F_1\left (n;\frac{1}{2},2;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[
e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.07366, antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {3827, 133} \[ -\frac{\tan (e+f x) F_1\left (n;\frac{1}{2},2;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 2, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[
e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))

Rule 3827

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
d*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((d*x)^(n - 1)*(a + b*x)^(m -
1/2))/Sqrt[a - b*x], x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(d \sec (e+f x))^n}{(1+\sec (e+f x))^{3/2}} \, dx &=-\frac{(d \tan (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(d x)^{-1+n}}{\sqrt{1-x} (1+x)^2} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{F_1\left (n;\frac{1}{2},2;1+n;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.21731, size = 3003, normalized size = 41.14 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(d*Sec[e + f*x])^n/(1 + Sec[e + f*x])^(3/2),x]

[Out]

(6*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*Sec[e +
f*x]^(1/2 - n + (-3 + 2*n)/2)*(d*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]
*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(f*(1 + Sec[e + f*x])^(3/2)*(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f
*x)/2]^2)*((12*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[
(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^
2))/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2
, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*
x])^(3/2 + n)*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3
+ 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (6*
AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e +
f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2,
-3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/
2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^
2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (6*n*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*
x)/2]^2*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)
*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (6*Cos[e
+ f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-((1 - n)*AppellF1
[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 +
((-3/2 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Ta
n[(e + f*x)/2])/3)*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Ta
n[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)
- (6*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/
2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(3/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*((2*(-1 + n)*
AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 +
n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-((1 - n)*A
ppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2
])/3 + ((-3/2 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/
2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + Tan[(e + f*x)/2]^2*(2*(-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, -3/2 + n, 3 - n, 7/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-3/2 + n)*AppellF1[5/2, -1
/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (-3 + 2
*n)*((-3*(1 - n)*AppellF1[5/2, -1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]
^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-1/2 + n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2
]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Ta
n[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^
2 + (6*(3/2 + n)*AppellF1[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Se
c[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(1/2 + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2*(
-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1
[1/2, -3/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -3/2 + n, 2 -
n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-3 + 2*n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.152, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( d\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n} \left ( 1+\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x)

[Out]

int((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/(sec(f*x + e) + 1)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n} \sqrt{\sec \left (f x + e\right ) + 1}}{\sec \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, \sec \left (f x + e\right ) + 1}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*sec(f*x + e))^n*sqrt(sec(f*x + e) + 1)/(sec(f*x + e)^2 + 2*sec(f*x + e) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{n}}{\left (\sec{\left (e + f x \right )} + 1\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))**n/(1+sec(f*x+e))**(3/2),x)

[Out]

Integral((d*sec(e + f*x))**n/(sec(e + f*x) + 1)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/(sec(f*x + e) + 1)^(3/2), x)